Benzerlik Teoremi ve İspatı

 Benzerlik Teoremi Nedir?

Benzerlik teoremi iç açıları aynı olan iki üçgenin birbirine oranıdır.

İSPATI

Önce dik kenarları x ve y hipotenüsü z olan bir dik üçgen alalım.

Sonra x kenarına dik olacak şekilde z kenarından bir dikme inelim.

İki üçgen birbirine paralel ve tepe açıları eşit olduğu için birbirinin benzeridir.

Oluşan küçük üçgenin de dik kenarları a ve b hipotenüsü c olsun.

Şimdi ise z kenarını kesen noktadan y kenarına bir dik indirelim.

Oluşan bu dikmenin uzunluğu x-a kadar olur.

Şimdi ise oluşan iki dik üçgen ve karenin alanını ilk baştaki büyük dik üçgenin alanına eşitleyelim.

Payda eşitleyelim.

Paydadaki 2'yi sadeleştirelim.

İfadeyi dağıtalım.

İfadeyi düzenleyelim.

Böylelikle ilk iki eşitliği ispatlamış olduk şimdi diğerini ispatlayalım.

Dik üçgenimizdeki c uzunluğunun a ve b z uzunluğunun da x ve y cinsinden değerini bulalım.

Dik üçgende Pisagor bağıntısını kullanıp birbirine oranlarsak

Paydaki ifadeyi a² paydadaki ifadeyi de x² parantezine alalım.

Aşağıdaki iki ifadeyi kareköke aldığımız zaman biraz önce bulduğumuz eşitliye sağladığı için birbirine eşittir. Dolayısıyla çarpım durumundaki iki ifade sadeleşebilir.

Denklemi sadeleştirelim.

Sonuç olarak bu eşitliğimizi de ispatlamış olduk. Bulduğumuz oran aynı zamanda biraz önce bulduğumuz orana eşit olduğu için Benzerlik Teoremi'nin üç oranını da ispatlamış olduk.

Daha fazla bilgi için youtube kanalıma abone olmayı unutmayın.